这个学期选了一门数学课，内容为线性代数以及微积分。目前上了两堂讲座，其中前半堂是扯办公废话。

线性代数课太渣了！

证明与证否

老师花了大量口舌讲明「证明」与「证否（推翻）」的区别（—— 证明需要用一般情况，而证否只须提反例）。他甚至花了许多功夫强调「反例只需要使得至少一条性质没有被满足就可以了 —— 而不是需要所有的性质都不符」。「比如，如果我们要说明一个（n维向量的）集合不是 R^n 的子空间，我们只需要证明『非空』，『加法封闭』，『乘法封闭』中的至少一条不成立即可。」听起来没问题啊。

他把「{(x, y) <- R^2 | y = x + 1} 是一个子空间吗？」用作了例子来演示「反例」的用法。这时候问题就来了。开头，他十分仔细地考虑了「非空」这个条件。「你们看，(0, 1) 属于这个集合，所以他非空。从中我们不能得到这个集合不是子空间。」但是说明了「乘法的封闭性不成立」（期间花了许多口舌讲明我证明与证否的区别）之后，这个例子就被用完了。Move on 了。

加法的封闭性就被不管了。

靠！要是你仔细到连「非空」都想去验证的话，怎么不见你将所有性质一条条各自作为例子给我们全验证出来啊！台下的同学要是心想「那我怎么知道应该先去验证乘法的封闭性啊 —— 万一我先去验证加法的封闭性呢？」怎么办？这个同学就应该「课后自己想」吗？讲课实在太轻重不分了！

子空间的_与交

首先，「子空间」被定义为 R^n 的一个对加法、数乘封闭的非空子集合。（至于 "R^n" 本身是什么，没有给出明确的定义而是直接 "import" 自「以前的课程」(which I of-course haven't taken)。）然后开始讨论「（同一 R^n 的）两个子空间的交集是否一定也是（该 R^n 的）子空间」。

他当然又将这个用作「证明与证否的区别」的另一个例子了，不过这次是作为「（用一般性质进行）证明」的例子。当场证出了「两个子空间的交集还是子空间」之后，他又提出了「两个子空间的并集是子空间吗？」的问题，然后指派了两分钟给同学们「思考讨论一下」。

到了这个时候我觉得「这课还不错嘛，第一堂课就提及了子空间的和与交」（因为真正的第一堂课只是勉强开了个头，我将第二堂课算作「第一堂课」。）

问题又来了。老师令同学们举手表示对于命题的猜测之后，却道「这个问题留给你们课后自己想想吧」，然后tmd马上开始列出「解空间」的定义！

我擦！这么好的机会，我估计那「思考讨论」的两分钟之后不少同学的求知欲都已经被挑逗了起来了；况且考虑了「交」的情况，再考虑「并」的情况实在是再自然不过的思路了，之前我就已经在等着他设问这个问题。他却设问而不答问！

该堂课的后话

这堂课中，老师接下去讲的话题是「解空间的定义与求法」、「行、列空间的定义」，期间又蜻蜓点水地提到了「任何矩阵的解空间都是子空间」、「如何求解空间的一组基」（尽管他还没定义「基」）、「子空间的维度的直观意义（却不提定义）」。

昂课 - MITx 18.06

相比起我这里自己的课，我深刻地意识到 MITx 18.06 之昂。昂在哪里呢？

  • 第一堂课就是第一堂课。上来立即道「解线性方程组是线性代数最为核心、基础的问题」，然后给出了方程组的按照行、按照列两种不同的几何理解方法。第一堂课就是应该指明这门课的「入口」在哪里。胡乱讲一个专题（比如子空间 —— 或者为了这个观点：行列式）无法达到为同学们找到「入口」的感觉。

  • 以自然的疑问引导内容的展开。每当老师讲了一个新的定义、新的定理、新的方法的时候，同学们（应当会）自然地产生一些类似「这个定义是什么意思？（问直观理解方法）」、「如果将定理的前提改一下成为这个样子会得到什么结论呢？」、「这个方法也适用于那种问题吗？」的问题。我觉得完全可以认为当且仅当老师讲课的内容是用一系列的「自然的疑问」来展开、来联系起来的情况下，我们才应该认为老师的讲课顺序是「有思路」的。